Тема: Занимательная (надеюсь) задача
Автор: Составитель
Дата: 14/06/2003 11:04
 	
Я с детства люблю читать произведения Перельмана и 
Маковецкого, представляющие собой наборы разного рода 
занимательных задач по физике и математике.

Однажды я тоже придумал задачу - надеюсь, тоже 
занимательную. 

Итак: человек бежит по дороге со скоростью V, на его 
пути лежит упругий футбольный мяч. Человек на бегу 
ставит одну свою ногу рядом с мячом, а другой ногой, 
вынося её вперёд, попадает по мячу. Мяч в результате 
соударения с бьющей ногой летит вперёд. 

Вопрос: с какой скоростью?
 
Ответить

Тема: Я, конечно же, не смог пройти мимо
Автор: VadimPro
Дата: 21/06/2003 10:03
 	
Уважаемый Составитель, решение всяческих задач в 
детстве тоже было моим развлечением (правда, с 
указанными Вами авторами я не знаком). 

А Ваша задача, действительно, оказалась занимательной, 
хотя поначалу я в этом усомнился. Первое впечатление 
было таким, что придётся делать множество всяческих 
допущений и прикидок, но чем дольше я размышлял, тем 
больше мне открывалась простота Вашей задачи.

Поначалу мне казалось, что для выяснения скорости 
ударяющей по мячу ноги необходимо как-то узнать 
скорость ноги, выносимой человеком вперёд на бегу 
("наверное, - подумал я, - это нужно искать где-нибудь 
в литературе по физиологии"), а затем прибавить данную 
скорость к скорости самого человека. Но вскоре мне 
пришёл в голову простой вопрос: "Что же это за 
занимательная задача, коли для её решения нужно искать 
дополнения к условиям по разным справочникам?". 
Немного поразмыcлив, я понял, что Вашу задачу можно 
решить безо всяких справочников, - если предположить, 
что человек бьёт по мячу не целенаправленно напрягаясь,
а просто в процессе бега. То есть его бьющая нога 
движется относительно туловища вперёд с той же самой 
скоростью, с которой его опорная нога движется 
относительно туловища назад. И тогда скорость 
движущейся вперёд ноги можно оценить по темпу бега 
(тут мне кажется, Вы не очень точно поставили условие 
задачи: ведь человек может бежать, например, даже 
трусцой, а потом вдруг взять, да и садануть со всей 
дури по мячу, - в этом случае скорость движения мяча 
никак нельзя будет оценить по темпу предшествующего 
бега, ибо она зависит от того, какую скорость может 
развивать во время удара тот или иной индивид). 

Итак, если человек бьёт по мячу, не прилагая каких-то 
специальных усилий, а просто по ходу своего бега, то 
скорость ударяющей по мячу ноги связана со скоростью 
бега человека, - причём связь эта, повторяю, такова, 
что бьющая нога движется примерно в два раза быстрее, 
чем бежит человек. (Вперёд движется одна нога, а 
вторая, связанная с землей, покоится, затем наоборот;
таким образом, каждая нога проводит в движении в два 
раза меньше времени, чем центр массы человека, и 
потому она должна двигаться в два раза быстрее центра 
массы.) Конечно, это достаточно грубое допущение, ведь 
ноги ведут себя таким образом только в процессе 
ходьбы - во время же бега человек на некоторое время 
вообще отрывается от земли (но иначе трудно будет 
оценить скорость, хотя сие, наверное, и возможно - но 
нет времени думать). Итак, скорость ноги, ударяющей по 
мячу в процессе лёгкого бега, равна примерно 2V.

Дальше я опять поначалу пошёл сложным путем: решил, что
нужно прикинуть примерную массу ноги и мяча, найти 
центр массы ноги, записать закон сохранения энергии и 
импульса для абсолютно упругого удара и пр. Но в 
процессе вычислений я понял, что при массе ударяющего 
тела много большей массы покоящегося тела скорость, 
приобретаемая лёгким телом, мало зависит от конкретных 
масс и равна просто удвоенной скорости большого тела. 
Таким образом, можно вообще наплевать на массу самого 
бегуна, на массу его ноги, на массу мяча и прочие 
условия, и сразу ответить, что мяч полетит со 
скоростью, в два раза большей, чем скорость ударяющей 
ноги - то есть скорость мяча будет равна 4V.

Ну как, моё решение совпадает с Вашей задумкой?

В любом случае, уважаемый Составитель, спасибо Вам за 
лишний повод пораскинуть мозгами :).
 
Ответить	Открыть подтему

Тема: Re: Я, конечно же, не смог пройти мимо
Автор: Составитель
Дата: 23/06/2003 20:26
 	
Уважаемый Вадим, Вы совершенно правы: скорость мяча 
будет равна учетверённой скорости бегуна.

Для меня в описании хода Вашего решения удивительно 
то, что Вы достаточно сложным образом додумывались до 
совершенно вроде бы простой мысли: скорость ноги, 
наносящей удар по мячу, равна удвоенной скорости 
бегуна - и в то же время Вы практически сходу решили 
куда более, на мой взгляд, сложную задачу о втором 
удвоении скорости:

"Таким образом, можно вообще наплевать на массу самого 
бегуна, на массу его ноги, на массу мяча и прочие 
условия, и сразу ответить, что мяч полетит со 
скоростью в два раза большей, чем скорость ударяющей 
ноги."

Я уверен (и только что проверил на своём достаточно 
сообразительном друге), что большинству людей данный 
Ваш вывод покажется далеко не очевидным. Большинство 
людей будут на 100% уверены, что мяч приобретает всего 
лишь удвоенную скорость бегуна, а отделяется, отлетает 
от бьющей ноги потому, что "она ведь начинает 
тормозить" в рамках подготовки с новому беговому шагу.

На самом же деле в процессе удара ногой по мячу 
происходит следующее: можно считать, что это не нога 
налетает на неподвижный мяч, а, напротив, движущийся 
мяч налетает на неподвижную ногу - и за счёт сил 
упругости отлетает от неё в обратном направлении с той 
же самой скоростью. То есть в результате упругого 
столкновения с ногой мяч относительно себя прежнего 
как точки отсчёта приобретает удвоенную скорость. 
Значит, если мяч перед упругим соударением с 
движущейся ногой покоился, то в результате данного 
соударения он приобретает скорость, равную удвоенной 
скорости ноги.

Что же касается того, что Вы до сих пор не знакомы с 
книгами Перельмана и Маковецкого при всём при том, что 
"решение всяческих задач в детстве тоже было" Вашим 
развлечением - то это, конечно, тоже весьма 
удивительно. Но ничего страшного, книги "Занимательная 
физика" Перельмана и "Зри в корень" Маковецкого 
продаются сегодня чуть ли не на каждом углу - а любая 
задача из этих книг такова, что даст сто очков вперёд 
моей задачке про пинающего мяч бегуна.
 
Ответить	Открыть подтему

Тема: Re: Я, конечно же, не смог пройти мимо
Автор: VadimPro
Дата: 24/06/2003 12:07
 	
Уважаемый Составитель, Вы написали:

"Для меня в описании хода Вашего решения удивительно 
то, что Вы достаточно сложным образом додумывались до 
совершенно вроде бы простой мысли: скорость ноги, 
наносящей удар по мячу, равна удвоенной скорости 
бегуна".

Эта мысль совершенно проста для того, кто составляет 
задачу, а не для того, кто её решает :) Дело в том, 
что, как я уже писал, в обычных условиях скорость удара
футболиста по мячу мало связана со скоростью бега. 
Можно же двигаться и с нулевой скоростью, и при этом 
скорость мяча, приобретённая после удара, не будет 
равна нулю, а будет зависеть от скорости ноги во время 
удара (в конечном итоге, от силы мышц). Сначала я и 
думал, что нужно как-то оценить эту максимальную 
скорость, но затем я понял, что простым образом решить 
эту задачу можно только если принять как условие, что 
футболист не бьёт по мячу, а "задевает" его ногой. 
Трудность была в том, чтобы понять особенность 
ситуации, заложенную в условии. 

Более того, само простое решение (то, что скорость 
ударяющей ноги при беге равна 2V) есть упрощение 
задачи. На самом деле движение ноги равноускоренно, 
стартует нога из состояния покоя (опора о землю) затем 
ускоряется под действием мышц, затем замедляется под 
действием мышц и затем окончательно останавливается 
при контакте с землей. Таким образом, 2V - это  
средняя скорость ноги. А значит, максимальная скорость 
ноги во время бега несколько больше, и развивается она 
в середине "шага", то есть как раз тогда, когда и 
наносится удар по мячу, - и я даже некоторое время 
размышлял "а не нужно ли учитывать и этот фактор?", 
прежде чем решил излишне всё не усложнять.

"и в то же время Вы практически сходу решили куда 
более, на мой взгляд, сложную задачу о втором удвоении 
скорости: Я уверен (и только что проверил на своём 
достаточно сообразительном друге), что большинству 
людей данный Ваш вывод покажется далеко не очевидным".

Да и мне он был не очевидным :). Только я не стал 
полагаться на свою сообразительность, а тупо нашёл 
скорость мяча, решив систему из двух уравнений 
сохранения (импульса и энергии) - и вот, глядя на 
формулу найденной скорости, я увидел в ней член М/(М+m)
(если правильно запомнил), где М - масса ударяющего 
тяжёлого тела, а m - масса покоящегося лёгкого. 
Понятно, что при М>>m, этот член стремится к единице, 
и тогда массы вообще исчезают из решения, и скорость 
малого тела стремится к удвоенной скорости большого. И 
уже только потом, когда я нашёл это решение, я 
задумался над ситуацией и понял, что, действительно, 
можно связать систему отсчёта с надвигающейся ногой 
футболиста и считать, что это мяч налетает на 
покоящуюся "стену" и отлетает от неё с той же 
скоростью, с которой он летел к стене, но так как при 
этом сама "стена" ещё и движется относительно земли, 
то относительно земли скорость мяча будет удвоенной.

"Большинство людей будут на 100% уверены, что мяч 
приобретает всего лишь удвоенную скорость бегуна, а 
отделяется, отлетает от бьющей ноги потому, что "она 
ведь начинает тормозить" в рамках подготовки с новому 
беговому шагу."

И будут правы в том случае, если мяч будет вылеплен 
из пластилина. Это описание абсолютно неупругого 
соударения, когда тело не отскакивает от другого, а 
"слепляется" с ним, приобретая его скорость.

"Что же касается того, что Вы до сих пор не знакомы с 
книгами Перельмана и Маковецкого при всём при том, что 
"решение всяческих задач в детстве тоже было" Вашим 
развлечением - то это, конечно, тоже весьма 
удивительно."

И тому есть объяснение: в нашем городке в глуши 
Западной Сибири с книгами была большая напряжёнка, и 
потому приходилось обходиться тем, что имелось под 
рукой. И развлекался я решением не "занимательных" 
задач, а самых что ни на есть "скучнейших" из 
задачников по физике :) Правда, это почему-то тоже  
доставляло мне удовольствие. Кстати, и среди этих 
задач попадались весьма занимательные, особенно, 
задачи вступительных экзаменов в НГУ. Мне запомнилась 
такая задача:

"Человек, идя в темноте, наступает на грабли. Оценить, 
с какой скоростью грабли ударят его по лбу" :)
 
Ответить	Открыть подтему

Тема: Re: Я, конечно же, не смог пройти мимо
Автор: Составитель
Дата: 27/06/2003 15:18
 	
Уважаемый Вадим, сколько я ни перечитывал условия 
приведённой Вами задачи: 

"Человек, идя в темноте, наступает на грабли. Оценить, 
с какой скоростью грабли ударят его по лбу", 

однозначный ответ на неё ну никак не вырисовывается. 

Скорость сближения конца ручки грабель (а можно и 
"граблей") со лбом человека тут зависит и от скорости 
ходьбы самого человека, и от лёгкости ручки грабель 
(точнее, от соотношения веса человека и веса ручки 
грабель), и от роста человека (длина ручки грабель, 
судя по всему, связана с ним напрямую, поскольку своим 
концом бьёт его по лбу), и от соотношения длины зубьев 
грабель с длиной ручки.

А вот моя задача, в отличие о Вашей, имеет куда более 
определённые условия: в них, например, всё-таки 
специально указывается, что человек, наносящий удар по 
мячу, делает это не целенаправленно, а просто по ходу 
своего бега ("а другой ногой, вынося её вперёд, 
попадает по мячу"), что мяч именно упругий ("на его 
пути лежит упругий футбольный мяч").
 
Ответить	Открыть подтему

Тема: Re: Я, конечно же, не смог пройти мимо
Автор: VadimPro
Дата: 30/06/2003 10:21
 	
Совершенно верно, уважаемый Составитель, приведённая 
мной задача относится к той категории, где в условии 
содержится недостаточно исходных данных (так любили 
раньше издеваться над абитуриентами в Новосибирске), и 
для её решения необходимо самому определить, какие 
ещё параметры нужны, но пока неизвестны, а затем 
каким-либо образом самому оценить значения этих 
параметров. 

В частности, для решения указанной задачи необходимо 
взять примерный вес и рост человека (скорость ходьбы, 
кстати, не важна - главное, что человек идёт, а не 
бежит), а также примерные параметры грабель (длину 
зубьев, длину и вес черенка). 


Именно то, что я сталкивался раньше с такими задачами, 
и стало для меня главной трудностью на пути решения 
Вашей задачи. Ведь, как я уже писал, мне показалось, 
что условий для решения Вашей задачи приведено 
недостаточно, и потому я сперва пошёл по ложному пути: 
начал размышлять о необходимости оценки скорости удара 
из каких-то внешних задаче условий. Про 
"нецеленаправленность" удара я понял не сразу. 

Но в итоге Ваша задача, уважаемый Составитель, тем мне 
и понравилась, что её решение непосредственно вытекает 
из условий, полностью "содержится" в них.
 
Ответить	Открыть подтему

Тема: Каверзная задачка
Автор: Ars
Дата: 22/02/2005 16:56
 	
Здравствуйте, уважаемый Составитель, не знаю, как Вы 
относитесь к софизмам и слыхали ли Вы про эту 
"задачку", - мне просто хотелось бы увидеть 
развёрнутый и обоснованный ответ (извините за 
такую "наглую требовательность").

Итак, задача: "Почему заяц никогда не догонит 
черепаху?"

Заяц находится на некотором расстоянии от черепахи и 
движется с постоянной скоростью в том же направлении, 
в котором движется и черепаха, то есть пытается её 
догнать. Скорость движения черепахи тоже постоянна, 
но, разумеется, меньше скорости движения зайца. Заяц 
вроде бы неминуемо должен настигнуть черепаху, но тут 
есть одно "но".

Дело в том, что в какой-то момент времени черепаха на 
условной прямой находится в точке Х1; через некоторое 
время заяц, двигаясь, достигает этой же самой точки - 
однако к этому времени черепаха, тоже двигаясь, 
очутилась уже на точке Х2, то есть на каком-то 
расстоянии от зайца. Потом заяц достигает точки Х2, но 
черепаха опять от него уже "убежала" - на точку Х3 - и 
т.д. Как говорится, "что-то тут не так". 

Но что?


[на главную страницу]

Архив переписки

Форум


Free counters!


Спорт глазами Мовлади Абдулаева, тренера 
тяжелоатлетов

Weightlifting database

Weightlifting database

Мир тяжелой атлетики

Железный мир

Силовые виды спорта в Твери и в Тверской области

Тяжёлая атлетика глазами Артура Шидловского

Польская штанга

Старые силовые Журналы США

Силачи прошлого и настоящего

Пауэрлифтинг от Петра Кравцова

Библиотека материалиста

Извлечённое из интернета